Markowitz portfelis: nuo teorijos formulės iki praktinio taikymo

Markowitz portfelis optimizuoja santykį tarp laukiamo pelno ir variacijos, naudodamas kovariacijų matricą tarp turimų aktyvų. Modelis leidžia surasti tokį svorių derinį, kuris duoda didžiausią grąžą prie pasirinkto rizikos lygio arba mažiausią riziką prie pasirinktos grąžos. Jis geriausiai tinka diversifikacijos planavimui ir strateginiam portfelio sudarymui, o ne trumpalaikiam prekybos sprendimui. Skaičiavimų žingsniai ir praktiniai patarimai aprašyti žemiau.

Trumpai:

• Diversifikacijos nauda Europos ir Baltijos rinkose sumažėja krizės metu, nes koreliacijos tarp aktyvų auga.
• Markowitz portfelio svorius dažnai būna nestabilūs dėl duomenų estimacijos klaidų ir jų įtakos optimizacijai.
• Reguliarizacija ir apribojimai gali pagerinti svorių stabilumą ir portfelio veikimą už imties ribų.
• Pradedantieji turėtų pradėti nuo ilgesnio laikotarpio duomenų ir paprastų modelių, patikrindami jautrumą pakeitimams.
• Mažesnėms rinkoms būtina koreguoti modelį dėl mažo likvidumo ir didesnių tarpusavio koreliacijų, tačiau praktinė nauda išlieka.

Turinys

• Markowitz teorijos matematinis pagrindas ir efektyvi riba
• Praktinis vadovas: žingsniai portfelio konstravimui ir programiniai įrankiai
• Modelio ribotumai ir modernios pataisos
• Ką rodo empirika Europos ir Baltijos rinkose
• Marketsfactor praktinės įžvalgos ir rekomendacijos
• Autoriaus perspektyva: kada rinktis Markowitz prieigą ir kada ne
• Kaip Marketsfactor mokymai padeda pritaikyti Markowitz prieigą
• Šaltiniai
• Dažniausiai užduodami klausimai

Markowitz teorijos matematinis pagrindas ir efektyvi riba

Harry Markowitz 1952 metais pasiūlė žiūrėti į portfelį ne kaip į atskirų aktyvų rinkinį, o kaip į vieną sistemą, kurioje svarbus ne tik kiekvieno aktyvo pelningumas, bet ir jų tarpusavio sąveika. Portfelio laukiamas pelningumas skaičiuojamas kaip svertinis vidurkis:

E(Rp) = Σ wi × E(Ri)

kur wi yra i-ojo aktyvo svoris portfelyje, o E(Ri) jo laukiamas pelningumas. Rizika matuojama variacija:

σp² = Σi Σj wi wj σij

kur σij yra i-ojo ir j-ojo aktyvo kovariacija. Ši formulė ir yra teorijos šerdis: variacija priklauso ne vien nuo individualių aktyvų svyravimų, bet nuo to, kaip jie svyruoja vienas kito atžvilgiu.

Kovariacijų matrica lemia visą diversifikacijos efektą. Kai du aktyvai koreliuoja neigiamai arba silpnai teigiamai, jų sujungimas mažina bendrą portfelio svyravimą stipriau, nei mažintų vien atskirų aktyvų rizikos vidurkis. Todėl praktikoje ieškoma ne pačių pelningiausių, o tarpusavyje mažai susijusių aktyvų.

Pagrindinės sąvokos, kurias reikia įsisavinti prieš skaičiavimus:

• Laukiama grąža apskaičiuojama iš istorinių arba prognozuojamų pelningumų, priskiriant jiems svorius.
• Kovariacijų matrica parodo, kaip kiekviena pora aktyvų juda vienas kito atžvilgiu skirtingais laikotarpiais.
• Efektyvi riba yra visų portfelių rinkinys, kurie duoda didžiausią grąžą prie kiekvieno galimo rizikos lygio.
• Tangentinis portfelis yra taškas, kuriame tiesė iš berizikos normos susikerta su efektyvia riba liestinės būdu.

Grafiškai efektyvi riba atrodo kaip išgaubta kreivė rizikos ir grąžos plokštumoje: horizontali ašis rodo standartinį nuokrypį, vertikali laukiamą grąžą, o kreivė kyla į viršų, kol pasiekia minimalios variacijos portfelį ir tęsiasi tolyn su didesne rizika ir grąža. Kai į modelį įtraukiama berizikė norma, gaunama kapitalo rinkos linija (CML), kuri jungia berizikę normą su tangentiniu portfeliu ir yra teoriškai geresnė už pačią efektyvią ribą, nes leidžia skolintis arba investuoti į berizikį aktyvą. CAPM tada šią logiką paverčia atskiro aktyvo kainodaros modeliu, remdamasis tuo, kad rinkos portfelis yra tas pats tangentinis portfelis visiems investuotoriams.

Praktinis vadovas: žingsniai portfelio konstravimui ir programiniai įrankiai

Teorija atrodo švari, tačiau realūs duomenys retai būna tokie patogūs. Pirmas sprendimas, kurį reikia priimti, yra grąžų dažnis: dienos duomenys duoda daugiau taškų, tačiau kartu ir daugiau triukšmo, o mėnesio duomenys stabilesni, bet reikalauja ilgesnės istorijos, kad kovariacijų matrica būtų patikima. Likvidumas taip pat riboja pasirinkimą: mažiau prekiaujami aktyvai turi didesnę bid-ask paklaidą, kuri iškreipia tikrąją grąžą.

Žingsniai nuo duomenų iki optimalaus portfelio:

1. Surinkti istorinius kainų duomenis pasirinktam laikotarpiui ir dažniui, patikrinti trūkstamas reikšmes.
2. Apskaičiuoti periodines grąžas kiekvienam aktyvui ir jų vidurkius.
3. Sudaryti kovariacijų matricą, naudojant rolling window arba visą turimą istoriją.
4. Įvertinti, ar kovariacijų matricą reikia stabilizuoti (shrinkage metodas), nes su daug aktyvų ir palyginti mažai stebėjimų matrica gali tapti nestabili arba neapsisukanti.
5. Nustatyti optimizacijos tikslą: minimizuoti variaciją prie fiksuotos grąžos arba maksimizuoti Sharpe rodiklį.
6. Uždėti apribojimus: svorių suma lygi 1, nė vienas svoris nėra neigiamas (no-short), jei tai reikalinga strategijai.
7. Paleisti sprendiklį ir patikrinti gautus svorius bei jų jautrumą įvesties pakeitimams.

Praktikoje sprendimą galima gauti keliais įrankiais. Excel su Solver priedu tinka nedideliam aktyvų skaičiui ir mokymuisi, nes leidžia matyti kiekvieną formulės žingsnį. R kalboje quadprog paketas sprendžia kvadratinio programavimo uždavinį tiesiogiai, o Python aplinkoje cvxpy leidžia lanksčiai aprašyti tikslo funkciją ir apribojimus, įskaitant reguliarizacijos narius. Pseudokodo lygiu uždavinys atrodo taip: apibrėžti svorių vektorių, minimizuoti wᵗΣw prie sąlygų, kad svorių suma lygi vienetui ir laukiama grąža atitinka tikslą, tada spręsti iteratyviai, kol randamas optimumas.

Profesionalus patarimas: Prieš tikinti optimizacijos rezultatu, pakeiskite įvesties duomenis vienu mėnesiu į priekį ar atgal ir pažiūrėkite, kiek pasikeičia svoriai. Jei jie šokinėja drastiškai, modelis yra pernelyg jautrus estimacijos klaidoms.

Rezultatų patikra negali apsiriboti vienu skaičiavimu. Out-of-sample testas, kai portfelis sudaromas iš vienos duomenų dalies ir tikrinamas kitoje, atskleidžia, ar optimizacija tik pritaiko modelį prie triukšmo, ar tikrai fiksuoja realų ryšį. Jautrumo analizė, kai keičiami laikotarpio ribos arba pridedami ir pašalinami atskiri aktyvai, parodo, kiek stabilūs yra gauti svoriai.

Modelio ribotumai ir modernios pataisos

Klasikinio Markowitz modelio didžiausia praktinė problema yra svorių nestabilumas: nedidelis pokytis įvesties duomenyse gali radikaliai pakeisti optimalų portfelį, nes optimizacija dažnai koncentruojasi į kelis aktyvus su ekstremaliais svoriais. Priežastis paprasta: estimacijos klaidos laukiamoje grąžoje ir kovariacijų matricoje sustiprėja per optimizacijos procesą, o modelis „pasitiki“ tiksliausiais atrodančiais, bet realiai atsitiktiniais skirtumais tarp aktyvų.

Sprendimas, kurį plačiai naudoja praktikai ir tyrėjai, yra reguliarizacija. L1 bauda tikslo funkcijoje skatina daugelio svorių reikšmes tapti lygiomis nuliui, todėl gaunamas retas (sparse) portfelis su mažiau aktyvų, kas savaime sumažina tranzakcijų kaštus. Europos centrinio banko darbo dokumentas aprašo tokį reguliarizuotą Markowitz optimizavimą, parodydamas, kad L1 bauda stabilizuoja svorius ir gali pagerinti portfelio veikimą už imties ribų, lyginant su neriboto optimizavimo variantu.

• L1 reguliarizacija paverčia daug svorių nuliais, mažindama aktyvų skaičių ir tranzakcijų kaštus.
• L2 reguliarizacija tolygiai sumažina ekstremalius svorius, neverčiant jų nuliu, todėl portfelis lieka diversifikuotas.
• No-short apribojimas natūraliai riboja ekstremalius neigiamus svorius, veikdamas panašiai kaip reguliarizacija.
• Shrinkage kovariacijų estimiacija sujungia imties matricą su paprastesniu tikslu, sumažindama triukšmo įtaką.

Reguliarizuoti portfeliai iš esmės rodžia nuosekliai geresnį veikimą už imties ribų nei naivus lygių svorių portfelis, remiantis ECB tyrimo eksperimentais su Fama-French duomenimis. Tai svarbus argumentas prieš „gryną“ Markowitz naudojimą be jokių papildomų suvaržymų.

Reguliaciniai reikalavimai taip pat riboja teorinį optimumą. Institucijoms taikomas Solvency II reikalavimas keičia priimtinų portfelių aibę, nes kapitalo pakankamumo taisyklės gali versti rinktis mažiau rizikingą derinį nei matematiškai optimalus. Kai aktyvų grąžos elgesys sudėtingesnis, negu leidžia paprasta kovariacijų struktūra, verta pereiti prie robustinių arba daugiafaktorinių modelių, kurie atsižvelgia į papildomus rizikos šaltinius, ne tik į vidurkio ir dispersijos porą.

Ką rodo empirika Europos ir Baltijos rinkose

Teorija skamba tvirtai, tačiau realūs duomenys iš mažesnių rinkų nuolat kelia klausimą, ar diversifikacijos nauda tebegalioja krizių metu. Empirinis tyrimas, lyginantis periodus 2014-2019 metais ir 2019-2024 metais, parodė, kad diversifikacijos nauda antruoju periodu sumažėjo, bet vis tiek buvo reikšminga formuojant portfelį iš daugiau nei dvidešimt rinkų.

• Rinkų koreliacijos didėja recesijų ir krizių metu, kas trumpuoju laikotarpiu mažina diversifikacijos efektą.
• Aktyvus valdymas kartais lenkia naivų, lygiais svoriais sudarytą portfelį, tačiau šis pranašumas smarkiai priklauso nuo pasirinktos imties ir laikotarpio.
• Mažesnėms rinkoms būdingas ribotas likvidumas iškreipia tikrąją koreliacijos struktūrą, todėl rezultatai gali skirtis nuo didesnių rinkų.

Baltijos rinkų akademiniai tyrimai rodo, kad Markowitz modelis lieka naudingas strateginiam portfelio formavimui, tačiau reikalauja korekcijų dėl mažesnio likvidumo ir didesnių tarpusavio koreliacijų, būdingų nedidelėms biržoms. Praktiškai tai reiškia mažesnį aktyvų skaičių optimizacijoje, dažnesnį kovariacijų matricos atnaujinimą ir konservatyvesnius svorių limitus, kai portfelis sudaromas daugiausia iš vietinių ar regioninių akcijų.

Investuotojui, kuris planuoja portfelį iš mažesnės rinkos aktyvų, praktinė išvada yra dviguba: diversifikacija tarp skirtingų geografinių regionų vis dar duoda apčiuopiamą naudą normaliomis rinkos sąlygomis, bet ta nauda susitraukia tada, kai jos labiausiai reikia, per rinkos sukrėtimus. Todėl vertinant riziką negalima remtis vien ramaus periodo koreliacijomis.

Marketsfactor praktinės įžvalgos ir rekomendacijos

Markowitz modelio taikymas retai baigiasi ties formule: sunkiausia dalis yra duomenų paruošimas, estimacijos klaidų valdymas ir rezultatų interpretavimas realioje portfelio valdymo praktikoje. Mokymų programos gali užpildyti šią spragą, jungdamos teorinę bazę su konkrečiais rinkos pavyzdžiais.

• Mokymų struktūra dažniausiai eina nuo teorinio pagrindo prie realių duomenų analizės, tada prie estimacijos ir reguliarizacijos technikų ir galiausiai prie rezultatų interpretavimo investavimo sprendimuose.
• Fundamentali analizė, dėstoma atskiruose kursuose, papildo Markowitz skaičiavimus, nes padeda pasirinkti pradinį aktyvų sąrašą pagal įmonių pagrindus, o ne tik istorinę statistiką.
• Praktiniai pavyzdžiai su regiono rinkų duomenimis leidžia matyti, kaip likvidumo ir koreliacijos ypatybės veikia optimizacijos rezultatus konkrečiose situacijose, o ne tik teorinėje aplinkoje.

Autoriaus perspektyva: kada rinktis Markowitz prieigą ir kada ne

Markowitz modelis tinkamiausias strateginiam, ilgo laikotarpio portfelio planavimui, ne aktyviai prekybai. Pradedantiesiems rekomenduoju tris žingsnius: surinkti tvarkingus mėnesio grąžų duomenis, sudaryti paprastą Excel modelį su keliais aktyvais, tada patikrinti jautrumą pakeičiant laikotarpį. Skaitykite apie shrinkage metodus prieš dirbdami su didesniais portfeliais, nes ten klaidos kainuoja daugiausiai.

— Bartas

Kaip Marketsfactor mokymai padeda pritaikyti Markowitz prieigą

Markowitz formulė duoda kryptį, bet realūs sprendimai priklauso nuo to, kaip skaitote rinkos duomenis ir pasirenkate aktyvus prieš skaičiavimą. Mokymai orientuoti tiek į pradedančiuosius, tiek į pažengusius investuotojus ir apima kelias sritis, praverčiančias portfelio konstravimo praktikoje:

• Techninė ir fundamentinė analizė padeda įvertinti aktyvus prieš juos įtraukiant į optimizacijos modelį.
• „Advanced Price Action“ kursas gilina techninius įgūdžius, naudingus laiko rinkai valdyti aplink strateginį portfelį.
• Fundamentalios analizės akademija moko atrinkti akcijas pagal įmonių pagrindus, kas padeda pagrįsti laukiamos grąžos vertinimą.
• Elioto bangų studija siūlo papildomą požiūrį į rinkos ciklus tiems, kas nori derinti techninę analizę su portfelio strategija.

Norintiems pradėti be įsipareigojimų, siūlomas nemokamas seminaras, kuriame galima susipažinti su mokymo formatu. Detaliau apie pirmąjį žingsnį skaitykite technikos ir fundamentinės analizės mokymo puslapyje.

Šaltiniai

• Sparse and stable Markowitz portfolios (ECB WP936)
• International Portfolio Diversification Benefits: An Empirical Investigation (2014–2024)
• Investicinio portfelio formavimo modelių tyrimų apžvalga (Lituanistika)

This article is general information, not a substitute for advice from a qualified financial advisor. Consult a qualified financial professional about your own circumstances before acting on anything here.

Dažniausiai užduodami klausimai

Kuo Markowitz portfelis skiriasi nuo naivaus diversifikavimo?

Markowitz portfelis svorius apskaičiuoja pagal laukiamą grąžą ir kovariacijų matricą, o naivus diversifikavimas tiesiog paskirsto lėšas lygiomis dalimis. Empiriniai tyrimai rodo, kad naivus portfelis kartais yra sunkiai įveikiamas etalonas, todėl Markowitz optimizacija turi būti patikrinta out-of-sample duomenimis, kaip aprašo ECB analizė.

Kodėl Markowitz optimizacijos svoriai dažnai būna nestabilūs?

Nestabilumą sukelia estimacijos klaidos laukiamoje grąžoje ir kovariacijų matricoje, kurias optimizacijos procesas sustiprina, priskirdamas ekstremalius svorius keliems aktyvams. Šią problemą sumažina reguliarizacija arba svorių apribojimai, kaip aprašyta ECB darbo dokumente.

Ar Markowitz modelis vis dar tinka mažesnėms rinkoms?

Taip, tačiau reikia korekcijų dėl mažesnio likvidumo ir didesnių tarpusavio koreliacijų. Baltijos rinkų tyrimai rodo, kad modelis naudingas strateginiam planavimui, jei aktyvų skaičius ribojamas ir kovariacijos vertinamos konservatyviai.

Kokie įrankiai geriausiai tinka Markowitz portfelio skaičiavimui?

Pradedantiesiems tinka Excel su Solver priedu, nes leidžia matyti kiekvieną skaičiavimo žingsnį. Sudėtingesniems modeliams su reguliarizacija dažniausiai naudojamas R paketas quadprog arba Python biblioteka cvxpy.

Ar diversifikacijos nauda išlieka rinkos krizių metu?

Diversifikacijos nauda per krizes sumažėja, nes rinkų koreliacijos tada paprastai didėja, tačiau visiškai neišnyksta. Empirinis Europos rinkų tyrimas parodė, kad nauda formuojant portfelį iš daugiau nei dvidešimt rinkų liko reikšminga net turbulentiškesniu periodu, palyginti su ankstesniu ramesniu laikotarpiu.